对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．对正整数k，规定{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）．（Ⅰ）若数列{an}的-数学试题及答案

1、试题题目：对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定 {△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（Ⅰ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{a_n}，若数列{b_n}是等差数列，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n对一切正整数n∈N^*都成立，求b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，令c_n=（2n-1）b_n，设Tn=

c1

a1

+

c2

a2

+

c3

a3

+…+

cn

an

，若T_n＜m成立，求最小正整数m的值．

试题来源：东城区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，
得△a_n-a_n=2ⁿ，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，---------------（2分）
∴数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

，
∴a_n=n?2^n-1．--------（4分）
（Ⅱ）∵b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n，
∴b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=n?2^n-1．
∵kC_n^k=nC_n-1^k-1，

∴

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+(n-1)

C

n-1n

+n

C

nn

=n

C

0n-1

+n

C

1n-1

+n

C

2n-1

+…+n

C

n-1n-1

=n(

C

0n-1

+

C

1n-1

+

C

2n-1

+…+

C

n-1n-1

)=n?2n-1.

∴b_n=n．------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
T_n=

1

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

，①

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，②
①-②得

1

2

Tn=1+1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

，
∴T_n=6-

1

2n-3

-

2n-1

＜6，----------（10分）
又T_n=

1

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

，
∴T_n+1-T_n＞0，
∴{T_n}是递增数列，且T₆=6-

1

23

-

11

25

＞5，
∴满足条件的最小正整数m的值为6．--------（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：