已知数列{an}中，a1=3，a2=5，Sn为其前n项和，且满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=nan-1，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）若f（x）=2x-1，cn=-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=3，a2=5，Sn为其前n项和，且满足Sn+Sn-2=2Sn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，S_n为其前n项和，且满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

n

an-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若f（x）=2^x-1，c_n=

1

anan+1

，Q_n=c₁f（1）+c₂f（2）+…+c_nf（n），求证Q_n＜

1

6

（n∈N*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1得an=an-1+2n-1(n≥3，n∈N*)，
∵a₂=5，∴当n≥3时，a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=5+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ+1，
经验证a₁=3，a₂=5也符合上式，
∴an=2n+1(n∈N*)；
（2）由（1）可得bn=

n

an-1

=

n

2n

，
∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①?

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②，
①-②有：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

n+2

2n

；
（3）∵f(x)=2x-1，cn=

1

anan+1

，
∴cnf(n)=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)(n∈N*)，
∴Q_n=c₁f（1）+c₂f（2）+…+c_nf（n）
=

1

2

[(

1

21+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)]
=

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＜

1

2

×

1

3

=

1

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=3，a2=5，Sn为其前n项和，且满足Sn+Sn-2=2Sn..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：