已知数列{an}的首项a1=12，前n项和Sn=n2an．（Ⅰ）求证：an+1=nn+2an；（Ⅱ）记bn=lnSn，Tn为{bn}的前n项和，求e-Tn-n的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的首项a1=12，前n项和Sn=n2an．（Ⅰ）求证：an+1=nn+2an；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的首项a1=

1

2

，前n项和Sn=n2an．
（Ⅰ）求证：an+1=

n

n+2

an；
（Ⅱ）记b_n=lnS_n，T_n为{b_n}的前n项和，求e-Tn-n的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由Sn=n2an①，得Sn+1=(n+1)2an+1②，
②-①得：an+1=(n+1)2an+1-n2an，
整理得，an+1=

n

n+2

an．
（Ⅱ）由an+1=

n

n+2

an，得

an+1

an

=

n

n+2

，
所以an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

1

2

×

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

1

n(n+1)

（n≥2），
又当n=1时，a1=

1

2

，所以an=

1

n(n+1)

．
∴Sn=n2an=

n

n+1

，b_n=lnS_n=lnn-ln（n+1），
∴T_n=（ln1-ln2）+（ln2-ln3）+（ln3-ln4）+…+（lnn-ln（n+1））=-ln（n+1），
∴e-Tn-n=eln(n+1)-n=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项a1=12，前n项和Sn=n2an．（Ⅰ）求证：an+1=nn+2an；..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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