已知数列An：a1，a2，…，an，满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（An）=a1+a2+…+an．（Ⅰ）写出S（A5）的所有可能取值；（Ⅱ）求S（An）的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列An：a1，a2，…，an，满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n，满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（k∈N^*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）写出S（A₅）的所有可能取值；
（Ⅱ）求S（A_n）的最大值．

试题来源：朝阳区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设，满足条件的数列A₅的所有可能情况有：
（1）0，1，2，1，0．此时S（A₅）=4；
（2）0，1，0，1，0．此时S（A₅）=2；
（3）0，1，0，-1，0．此时S（A₅）=0；
（4）0，-1，-2，-1，0．此时S（A₅）=-4；
（5）0，-1，0，1，0．此时S（A₅）=0；
（6）0，-1，0，-1，0．此时S（A₅）=-2．
所以，S（A₅）的所有可能取值为：-4，-2，0，2，4．．…（5分）
（Ⅱ）由(ak-ak-1)2=1，可设a_k-a_k-1=c_k-1，则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），a₂-a₁=c₁，a₃-a₂=c₂，
…a_n-a_n-1=c_n-1，
所以a_n=a₁+c₁+c₂+…+c_n-1． …（7分）
因为a₁=a_n=0，所以c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n为奇数，c₁，c₂，…，c_n-1是由

n-1

2

个1和

n-1

2

个-1构成的数列．
所以S（A_n）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_n-1）=（n-1）c₁+（n-2）c₂+…+2c_n-2+c_n-1．
则当c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

项取1，后

n-1

2

项取-1时S（A_n）最大，
此时S（A_n）=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)=

(n-1)2

4

．．…（10分）
证明如下：
假设c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

项中恰有t项cm1，cm2，…，cmt取-1，则c₁，c₂，…，c_n-1的后

n-1

2

项中恰有t项cn1，cn2，…cnt取1，其中1≤t≤

n-1

2

，1≤mi≤

n-1

2

，

n-1

2

＜ni≤n-1，i=1，2，…，t．
所以S（A_n）=(n-1)c1+(n-2)c2+…+

n+1

2

c

n-1

2

+

n-1

2

c

n+1

2

+…+2cn-2+cn-1=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)-2[（n-m₁）+（n-m₂）+…+（n-m_t）]+2[（n-n₁）+（n-n₂）+…+（n-n_t）]=

(n-1)2

4

-2[(n1-m1)+(n2-m2)+…+(nt-mt)]＜

(n-1)2

4

．
所以S（A_n）的最大值为

(n-1)2

4

．．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列An：a1，a2，…，an，满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：