设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对于任意实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-5；②f（2）=4．则f（1）=______；若an=f（2n）（n∈N*），数列{an}的前项和为Sn，则Sn的最大值是_____

1、试题题目：设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对于任意实数a，b都有f（ab）=f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对于任意实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-5；②f（2）=4．则f（1）=______；若a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），数列{a_n}的前项和为S_n，则S_n的最大值是______．

试题来源：房山区二模试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由①得f（1）=f（1）+f（1）-5，即f（1）=5，
a_n=f（2ⁿ）=f（2×2^n-1）=f（2）+f（2^n-1）-5=f（2）+f（2×2^n-2）-5=2f（2）+f（2^n-2）-2×5=…=nf（2）-5（n-1）=4n-5（n-1）=-n+5，
易知数列{a_n}为首项为4，公差为-1的等差数列，
令a_n≥0，即-n+5≥0，解得n≤5，
所以数列{a_n}的前4项为正数，第5项为0，
故数列前4项、或前5项和最大，最大值为S4=S5=5×4+

5×4

2

×(-1)=10，
故答案为：5；10．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对于任意实数a，b都有f（ab）=f..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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