已知数列{an}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列．设bn+2=3log14an（n∈N*），数列{cn}满足cn=1bn?bn+1．（Ⅰ）求证：数列{bn}成等差数列；（Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列．设bn+2=3log14a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列．设bn+2=3log

1

4

an（n∈N^*），数列{c_n}满足cn=

1

bn?bn+1

．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}成等差数列；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）∵数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，
∴a_n=

1

4

?(

1

4

)n-1=(

1

4

)n，
∵b_n+2=3log

1

4

a_n=3log

1

4

(

1

4

)n=3n（n∈N^*），
∴b_n=3n-2；
∴b_n+1-b_n=3（n+1）-2-（3n-2）=3，
∴数列{b_n}是以1为首项，3为公差的成等差数列．
（Ⅱ）∵c_n=

1

bn?bn+1

=

1

(3n-2)[3(n+1)-2]

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∵数列{c_n}的前n项和为S_n，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）
=

n

3n+1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列．设bn+2=3log14a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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