已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(x-1)-1(x＞0)，把函数g（x）=f（x）-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和Sn，则S10=_____

1、试题题目：已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(x-1)-1(x＞0)，把函数g（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

2x-1(x≤0)

f(x-1)-1(x＞0)

，把函数g（x）=f（x）-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和S_n，则S₁₀=______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

当0＜x≤1时，有-1＜x-1＜0，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
当1＜x≤2时，有0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，
当2＜x≤3时，有1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，
当3＜x≤4时，有2＜x-1≤3，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，
以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，
所以，函数f（x）=2^x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），
由于指数函数f（x）=2^x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后：
①将函数f（x）=2^x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，
即得到函数f（x）=2^x-1和y=x的图象，
取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．
即当x≤0时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f（x）=2^x-1和y=x图象-1＜x≤0的部分，
再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，
此时它们仍然只有一个交点（1，1）．
即当0＜x≤1时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，
继续按照上述步骤进行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，
此时它们仍然只有一个交点（2，2）．
即当1＜x≤2时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=2．
④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，
（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…
（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．
综上所述方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：
0，1，2，3，4，…，
其通项公式为：a_n=n-1，
前n项的和为 S_n=

(n-1)?n

2

，
∴S₁₀=45．
故答案为：45．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(x-1)-1(x＞0)，把函数g（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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