已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5，a1，a2．a5成等比数列（I）求数列{an}的通项公式：（II）若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an且数列{bn}的前n项和Tn试比较Tn与3n-1n+1的-数学试题及答案

1、试题题目：已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5，a1，a2．a5成等比数列（I）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知等差数列{a_n}的公差不为零，且a₃=5，a₁，a₂．a₅ 成等比数列
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n且数列{b_n}的前n项和T_n 试比较T_n与

3n-1

n+1

的大小．

试题来源：嘉兴一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意

a1a5=

a

22

a3=5

，∴

a1(a1+4d)=(a1+d)2

a1+2d=5

，
解得

a1=1

d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，①
b₁+2b₂+4b₃+…+2n-1bn+2nbn=an+1，②
②-①得2ⁿb_n+1=2，∴bn+1=21-n．
当n=1时，b₁=a₁=1，∴bn=

22-n，当m≥2时

1，当n=1时

，
当n=1时，T₁=a₁=1，

3×1-1

1+1

=1，此时Tn=

3n-1

n+1

．
当n≥2时，T_n=1+4(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)
=1+

4×

1

22

(1-

1

2n-1

)

1-

1

2

=3-

1

2n-2

．
又2n=(1+1)n=

C

0n

+

C

1n

+…+

C

nn

＞n+1，
∴

1

2n-2

=

4

2n

＜

4

n+1

，3-

1

2n-2

＞3-

4

n+1

=

3n-1

n+1

．
∴当n=1时，Tn=

3n-1

n+1

，当n≥2时，Tn＞

3n-1

n+1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5，a1，a2．a5成等比数列（I）..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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