已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时an=an-1-3，(an-1＞3)4-an-1，(an-1≤3)，（Ⅰ）当a=100时，求数列{an}的前100项的和S100；（Ⅱ）证明：对于数列{an}，一定存在k∈N*，使0＜ak≤-数学试题及答案

1、试题题目：已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时an=an-1-3，(an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时an=

an-1-3，(an-1＞3)

4-an-1，(an-1≤3)

，
（Ⅰ）当a=100时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（Ⅱ）证明：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=100时，由题意知数列a_n的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，
从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S₁₀₀=（100+97+94+…+1）+（3+1+3+1+…+3+1）=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

=1717+132=1849．
（2）证明：①若0＜a₁≤3，则题意成立；
②若a₁＞3，此时数列a_n的前若干项满足a_n-a_n-1=3，即a_n=a₁-3（n-1）．
设a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
则当n=k+1时，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
从而，此时命题成立．
综上：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时an=an-1-3，(an..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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