已知数列{an}中，a1=1，a2=14，且an+1=(n-1)ann-an（n=2，3，4，…）（1）求a3、a4的值；（2）设bn=1an+1-1（n∈N*），试用bn表示bn+1并求{bn}的通项公式；（3）设cn=sin3cosbn?cosbn+1（-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，a2=14，且an+1=(n-1)ann-an（n=2，3，4，…..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…）
（1）求a₃、a₄的值；
（2）设b_n=

1

an+1

-1（n∈N^*），试用b_n表示b_n+1并求{b_n} 的通项公式；
（3）设c_n=

sin3

cosbn?cosbn+1

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

试题来源：安庆模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=

1

4

，
且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…），
∴a3=

(2-1)a2

2-a2

=

1

4

2-

1

4

=

1

7

，
a4=

(3-1)a3

3-a3

=

2×

1

7

3-

1

7

=

1

10

，
∴a3=

1

7

，a4=

1

10

．…（3分）
（2）当n≥2时，

1

an+1

-1=

n-an

(n-1)an

-1=

n(1-an)

(n-1)an

=

n

n-1

(

1

an

-1)，
∴当n≥2时，bn=

n

n-1

bn-1，
故bn+1=

n+1

n

bn，n∈N*，
累乘得b_n=nb₁，
∵b₁=3，∴b_n=3n，n∈N^*．…（8分）
（3）∵cn=

sin3

cosbn?cosbn+1

=

sin(3n+3-3n)

cos(3n+3)?cos3n

=tan(3n+3)-tan3n，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=（tan6-tan3）+（tan9-tan6）+…+（tan（3n+3）-tan3n）
=tan（3n+3）-tan3．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，a2=14，且an+1=(n-1)ann-an（n=2，3，4，…..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：