已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=n2n2-1Sn-1+nn+1，且a1=12，n∈N*（I）试求出S1，S2，S3的值；（Ⅱ）根据S1，S2，S3的值猜想出Sn关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=n2n2-1Sn-1+nn+1，且a1=12，n∈..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足Sn=

n2

n2-1

Sn-1+

n

n+1

，且a1=

1

2

，n∈N*
（I）试求出S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）根据S₁，S₂，S₃的值猜想出S_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

S₁=a₁=

1

2

，
S₂=

4

3

S₁+

2

3

=

4

3

，
S₃=

9

8

S₂+

3

4

=

9

4

（Ⅱ）由（I）猜想Sn=

n2

n+1

①当n=1时，左边=S₁=a₁=

1

2

，右边=

12

1+1

=

1

2

，等式成立．
②假设n=k时等式成立，即Sk=

k2

k+1

则当n=k+1时，左边=Sk+1=

(k+1)2

(k+1)2-1

Sk+

k+1

k+2

=

(k+1)2

(k+1)2-1

?

k2

k+1

+

k+1

k+2

=

(k+1)2

k+2

即当n=k+1时，等式成立．
由①②可知，当时对任意正整数n都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=n2n2-1Sn-1+nn+1，且a1=12，n∈..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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