过抛物线C：x2=2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2．（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB，求直线l的斜率k的取值-数学试题及答案

1、试题题目：过抛物线C：x2=2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

过抛物线C：

x

2

=2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB，求直线l的斜率k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵|AF|=2，∴由抛物线的定义，可得1+

p

2

=2，∴p=2
∴抛物线C的方程为x²=4y；
（2）抛物线C的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，

x

21

4

），B（x2，

x

22

4

），M（x0，

x

20

4

）
直线方程代入抛物线方程可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
∵MA⊥MB，∴

MA

?

MB

=0
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+(

x

21

4

-

x

20

4

)(

x

22

4

-

x

20

4

)=0
∵M不与A，B重合，∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）≠0
∴1+

1

16

（x₁+x₀）（x₂+x₀）=0
∴x₁x₂+（x₁+x₂）x₀+

x

20

-16=0
∴

x

20

+4kx0+12=0
∴△=16k²-48≥0
∴k≤-

3

或k≥

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过抛物线C：x2=2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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