已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0．（I）求抛物线S的方程；（II）若O是坐标-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0．
（I）求抛物线S的方程；
（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足PO⊥OQ．试说明动直线PQ是否过一个定点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设抛物线S的方程为y²=2px．（1分）
由

4x+y-20=0

y2=2px

可得2y²+py-20p=0．（3分）
由△＞0，有p＞0，或p＜-160．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则y1+y2=-

p

2

，
∴x1+x2=(5-

y1

4

)+(5-

y2

4

)=10-

y1+y2

4

=10+

p

8

.（5分）
设A（x₃，y₃），由△ABC的重心为F(

p

2

，0)，则

x1+x2+x3

3

=

p

2

，

y1+y2+y3

3

=0，
∴x3=

11p

8

-10，y3=

p

2

.（6分）
∵点A在抛物线S上，
∴(

p

2

)2=2p(

11p

8

-10)，
∴p=8．（7分）
∴抛物线S的方程为y²=16x．（8分）
（II）当动直线PQ的斜率存在时，
设动直线PQ方程为y=kx+b，显然k≠0，b≠0．（9分）
∵PO⊥OQ，
∴k_OP?k_OQ=-1．
设P（x_P，y_P）Q（x_Q，y_Q）
∴

yP

xP

?

yQ

xQ

=-1，
∴x_Px_Q+y_Py_Q=0．（10分）
将y=kx+b代入抛物线方程，得ky²-16y+16b=0，
∴yPyQ=

16b

k

.
从而xPxQ=

yP2?yQ2

162

=

b2

k2

，
∴

b2

k2

+

16b

k

=0.
∵k≠0，b≠0，
∴b=-16k，
∴动直线方程为y=kx-16k=k（x-16），
此时动直线PQ过定点（16，0）．（12分）
当PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又PO⊥OQ，
∴△POQ为等腰直角三角形．
由

y2=16x

y=x

y2=16x

y=-x

得到P（16，16），Q（16，-16），
此时直线PQ亦过点（16，0）．（13分）
综上所述，动直线PQ过定点：M（16，0）．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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