设P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C：y2=2px（p＞0）上相异两点，且OP?OQ=0，直线PQ与x轴相交于E．（Ⅰ）若P，Q到x轴的距离的积为4，求p的值；（Ⅱ）若p为已知常数，在x轴上，是否存在异于-数学试题及答案

1、试题题目：设P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C：y2=2px（p＞0）上相异..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上相异两点，且

OP

?

OQ

=0，直线PQ 与x 轴相交于E．
（Ⅰ）若P，Q 到x 轴的距离的积为4，求p的值；
（Ⅱ）若p为已知常数，在x 轴上，是否存在异于E 的一点F，使得直线PF 与抛物线的另一交点为R，而直线RQ 与x 轴相交于T，且有

TR

=3

TQ

，若存在，求出F 点的坐标（用p 表示），若不存在，说明理由．

试题来源：汕头二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵

OP

?

OQ

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，
又P、Q在抛物线上，故y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，故得

y12y22

4p2

+y1y2=0，
y₁y₂=-4p²?|y₁y₂|=4p²，又|y₁y₂|=4，故得4p²=4，p=1．∴y²=2x，…（4分）
设E（a，0）（a≠0），直线PQ方程为x=my+a，联立方程

x=my+a

y2=2px

，
消去x得y²-2pmy-2pa=0；∴y₁y₂=-2pa=-4p²，∴a=2p=2，∴S△OPQ=

1

2

|OE|×(|y1|+|y2|)≥

1

2

×2×2

|y1y2|

=4，∴面积最小值为4．…（6分）
（Ⅱ）设E（a，0），直线PQ方程为x=my+a，联立方程组

x=my+a

y2=2px

，
消去x得y²-2pmy-2pa=0；∴y₁y₂=-2pa①
设F（b，0），R（x₃，y₃），同理可知，y₁y₃=-2pb②
由①、②可得

y3

y2

=

b

a

③
若

TR

=3

TQ

，设T（c，0），则有（x₃-c，y₃-0）=3（x₂-c，y₂-0），∴y₃=3y₂即

y3

y2

=3④
将④代入③，得b=3a．又由（Ⅰ）知，

OP

?

OQ

=0，y₁y₂=-4p²，代入①，
可得-2pa=-4p²，a=2p．故b=6p．
故知，在x轴上，存在异于E的一点F（6p，0），使得

TR

=3

TQ

．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C：y2=2px（p＞0）上相异..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：