如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于两点A，B，（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求△ABC的面积S的最-数学试题及答案

1、试题题目：如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y²=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于两点A，B，
（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；
（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求△ABC的面积S的最大值；
（3）设P是抛物线Ω上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直线l斜率为1且过焦点F(

p

2

，0)，∴直线l的方程为y=x-

p

2

．
联立

y=x-

p

2

y2=2px

，消去y得到关于x的方程x2-3px+

p2

4

=0，
由题意，△=9p²-p²＞0．
由根与系数的关系得x₁+x₂=3p，x1x2=

p2

4

．
由抛物线的定义可得：|AB|=xx₁+x₂+p=4p，又|AB|=8，∴4p=8，∴p=2．
因此所求的抛物线方程为y²=4x．
（2）由题意可知：当过点C的切线与AB平行时三角形ABC的面积最大，
设此切线为y=x+t，与抛物线方程联立得

y=x+t

y2=2px

，消去y得到关于x的方程x²+（2t-2p）x+t²=0，
∴△=（2tt-2p）²-4t²=0，解得t=

p

2

，∴切线为y=x+

p

2

．
因此切线与直线AB的距离d=

|-

p

2

-

p

2

|

2

=

2

p

2

．
∴△ABC的最大面积=

1

2

×

2

p

2

×4p=

2

p2．
（3）设A(

y12

2p

，y1)，B(

y22

2p

，y2)，P(

y02

2p

，y0)．
则直线PA的方程为y-y0=

y0-y1

y02

2p

-

y12

2p

(x-

y02

2p

)，化为y-y0=

2p

y0+y1

(x-

y02

2p

)，
令x=-

p

2

，则y_M=

y0y1-p2

y0+y1

，
同理可得yN=

y0y2-p2

y0+y2

，
∴y_M?y_N=

y02y1y2-p2y0(y1+y2)+p4

y02+y0(y1+y2)+y1y2

，
由（1）可得：y²-2py-p²=0，
∴y₁+y₂=2p，y1y2=-p2．
∴y_M?y_N=

-y02p2-2p3y0+p4

y02+2py0-p2

=-p²为定值．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：