已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=p2于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线C的切线l₁交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=

p

2

于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．
（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l₂交直线l₁于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x₁值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A(x1，

x12

2p

)，则A处的切线方程为l1：y=

x1

p

x-

x12

2p

，
可得：D(

x1

2

，0)，Q(0，-

x

21

2p

)
∴|FQ|=

p

2

+

x

21

2p

=|AF|；
∴△AFQ为等腰三角形．
由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，
∴|AF|=4，得：

p

2

+

x

21

2p

=4

x

21

+p2=16

∴p=2，C：x²=4y．
（2）设B（x₂，y₂）（x₂＜0），则B处的切线方程为y=

x2

2

x-

x22

4

联立

y=

x2

2

x-

x

22

4

y=

x1

2

x-

x

21

4

得到点P(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，联立

y=

x1

2

x-

x

21

4

y=1

得到点M(

x1

2

+

2

x1

，1)．
同理N(

x2

2

+

2

x2

，1)，
设h为点P到MN的距离，则S△=

1

2

|MN|?h=

1

2

×(

x1

2

+

2

x1

-

x2

2

-

2

x2

)(1-

x1x2

4

)=

(x2-x1)(4-x1x2)2

16x1x2

①

设AB的方程为y=kx+b，则b＞0，
由

y=kx+b

x2=4y

得到x²-4kx-4b=0，
得

x1+x2=4k

x1x2=-4b

代入①得：S_△=

16k2+16b

(4+4b)2

64b

=

(1+b)2

k2+b

b

，
要使面积最小，则应k=0，得到S△=

(1+b)2

b

②
令

b

=t，得S△(t)=

(1+t2)2

t

=t3+2t+

1

t

，则

S

′△

(t)=

(3t2-1)(t2+1)

t2

，
所以当t∈(0，

3

)时，S（t）单调递减；当t∈(

3

，+∞)时，S（t）单调递增，
所以当t=

3

时，S取到最小值为

16

3

9

，此时b=t2=

1

3

，k=0，
所以y1=

1

3

，解得x1=

2

3

．
故△PMN面积取得最小值时的x₁值为

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：