已知直线x=-1的方向向量为a及定点F（1，0），动点M，N，G满足MN-a=0，MN+MF=2MG，MG?（MN-MF）=0，其中点N在直线l上．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线x=-1的方向向量为a及定点F（1，0），动点M，N，G满足MN-a=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知直线x=-1的方向向量为

a

及定点F（1，0），动点M，N，G满足

MN

-

a

=0，

MN

+

MF

=2

MG

，

MG

?（

MN

-

MF

）=0，其中点N在直线l上．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，若α+β=θ为定值（0＜θ＜π），试问直线AB是否恒过定点，若AB恒过定点，请求出该定点的坐标，若AB不恒过定点，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知：MN⊥l|MF|=|MN|，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，
其中F（1，0）为焦点，x=-1为准线，
所以轨迹方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π）且x₁?x₂≠0，
所以AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
显然x1=

y

21

4

，x2=

y

22

4

，
联立

y=kx+b

y2=4x

，消去x得到：y2-

4

k

y+

4b

k

=0，
由根与系数关系得：

y1+y2=

4

k

y1?y2=

4b

k

①
1）当θ=

π

2

时，即α+β=

π

2

时，tanα?tanβ=1，
所以

y1

x1

?

y2

x2

=1即x1x2-y1y2=0，

y

21

y

22

16

-

y

21

y

22

=0
所以y₁y₂=16，
由①知：

4b

k

=16，
所以b=4k因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k，
∴直线AB恒过定点（-4，0）
2）当θ≠

π

2

时，由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2-16

，
将①式代入上式整理化简可得：tanθ=

4

b-4k

，所以b=

4

tanθ

+4k，
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+

4

tanθ

+4k，
∴直线AB恒过定点(-4，

4

tanθ

)
∴当θ=

π

2

时，AB恒过定点（-4，0），
当θ≠

π

2

时，．AB恒过定点(-4，

4

tanθ

)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线x=-1的方向向量为a及定点F（1，0），动点M，N，G满足MN-a=..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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