如图，四面体ABCD中，点O是BD的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=，（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值。-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四面体ABCD中，点O是BD的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-19 07:30:00

试题原文

如图，四面体ABCD中，点O是BD的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

，

（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值。

试题来源：0108 期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：连结AO，
∵O为BD的中点，AB=AD，
∴AO⊥BD，BC=CD，
∴BD⊥CO，
∴

，
在△AOC中，由已知可得AO=1，

，AC=2，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC，
又AO⊥BD，BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD，
又∵AO

平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD。
（2）解：取AC的中点M，BC的中点E，连接ME，OE，OM，
则ME∥AB，OE∥DC，
∴∠OEM（或其补角）为异面直线AB与CD所成的角，
在△OME中，

，
∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线，
∴

∴

∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四面体ABCD中，点O是BD的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=，..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面与平面垂直的判定与性质”。

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