正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点．求证：平面MBD⊥平面BDC1．-数学试题及答案

1、试题题目：正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点．求证：平面MBD⊥平面BDC1．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-19 07:30:00

试题原文

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点．求证：平面MBD⊥平面BDC₁．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点，作图如下：

魔方格

不妨设该正方体的边长为1，取BD的中点为P，连接MP，C₁P，
∵△C₁BD为边长为

2

的等边三角形，点P为BD的中点，
∴C₁P⊥BD，且C₁P=C₁Dsin60°=

2

×

3

2

=

6

2

；
同理，在等腰三角形BMD中，MP⊥BD；①
∴直角三角形MPD中，MD=

12+(

1

2

)2

=

5

2

，PD=

2

，
∴MP=

MD2-PD2

=

5

4

-

2

4

=

3

2

；
又C₁M=

C1A12+A1M2

=

2+

1

4

=

3

2

；
在△C₁MP中，MP=

3

2

，C₁P=

6

2

，C₁M=

3

2

，
∴C1M2=C1P2+MP²，
∴△C₁MP为直角三角形，C₁P⊥MP，②
由①MP⊥BD，②C₁P⊥MP，C₁P∩BD=P，
∴MP⊥平面BDC₁．
又MP?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面BDC₁．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点．求证：平面MBD⊥平面BDC1．”的主要目的是检查您对于考点“高中平面与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面与平面垂直的判定与性质”。

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