已知点P1（x0，y0）为双曲线x23b2-y2b2=1(b＞0，b为常数)上任意一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于点P2（1）求线段P1P2的中点P的轨迹-数学试题及答案

1、试题题目：已知点P1（x0，y0）为双曲线x23b2-y2b2=1(b＞0，b为常数)..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知点P₁（x₀，y₀）为双曲线

x2

3b2

-

y2

b2

=1(b＞0，b为常数)上任意一点，F₂为双曲线的右焦点，过P₁作右准线的垂线，垂足为A，连接F₂A并延长交y轴于点P₂
（1）求线段P₁P₂的中点P的轨迹E的方程；
（2）是否存在过点F₂的直线l，使直线l与（1）中轨迹在y轴右侧交于R₁、R₂两不同点，且满足

OR1

?

OR2

=4b2，（O为坐标原点），若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由；
（3）设（1）中轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直线QB、QD分别交y轴于M、N点，求证：以MN为直径的圆恒过两个定点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设点P的坐标为（x，y），
由题意可知，点A(

3b

2

，y0)，F2(2b，0)
所以，直线AF₂的方程为y=

2y0

-b

(x-2b)，
令x=0，得y=4y₀，
即点P₂的坐标为（0，4y₀）
∴

x=

x0

2

y=

y0+4y0

2

，可得

x0=2x

y0=

2

5

y

，
而点P₁（x₀，y₀）在双曲线上，
所以

4x2

3b2

-

4y2

25b2

=1，
即线段P₁P₂的中点P的轨迹E的方程为：

4x2

3b2

-

4y2

25b2

=1…4分
（2）假设符合题意的直线l存在，显然直线l斜率不为0，而F₂（2b，0），
故可设直线l的方程为x=ky+2b，点R₁（x₃，y₃）、R₂（x₂，y₂），
由

4x2

3b2

-

4y2

25b2

=1

x=ky+2b

?(k2-

3

25

)y2+4kby+

13

4

b2=0，
显然，k2-

3

25

≠0，
∴

△＞0

y2+y3=

-4kb

k2-

3

25

y2y3=

13b2

4(k2-

3

25

)

，
由题可知，y2y3=

13b2

4(k2-

3

25

)

＜0，
所以k2＜

3

25

．
由已知

OR1

?

OR2

=x2x3+y2y3=(k2+1)y2y3+2kb(y2+y3)+4b2=4b2，
∴

13b2(k2+1)

4(k2-

3

25

)

-

8k2b2

k2-

3

25

=0，
即k2=

13

19

与k2＜

3

25

矛盾
故不存在符合题意的直线…9分
（3），因为（Ⅰ）中轨迹E的方程为：

4x2

3b2

-

4y2

25b2

=1，
令y=0，则有x=±

3

2

b
不妨设B(-

3

2

b，0)，D(

3

2

b，0)，
则直线QB的方程为y(x1+

3

2

b)=y1(x+

3

2

b)，
令x=0，得M(0，

3

2

by1

x1+

3

2

b

)，
直线QD的方程为y(x1-

3

2

b)=y1(x-

3

2

b)，
令x=0，得N(0，

-

3

2

by1

x1-

3

2

b

)，
以MN为直径的圆的方程为x2+(y-

3

2

by1

x1+

3

2

b

)(y-

-

3

2

by1

x1-

3

2

b

)=0，
即x2+y2+

3

2

b2y1

x12-

3

4

b2

y-

3

4

b2y12

x12-

3

4

b2

=0，
点Q（x₁，y₁）在曲线E上，则有x2-

3b2

4

=

3y12

25

，
所以，以MN为直径的圆的方程为x2+y2+

25b2

2y1

y-

25b2

4

=0，
当y=0时，恒有x=±

5

2

b，即证以MN为直径的圆恒过两个定点(±

5

2

b，0)．…14分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点P1（x0，y0）为双曲线x23b2-y2b2=1(b＞0，b为常数)..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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