已知抛物线x2=y，O为坐标原点．（Ⅰ）过点O作两相互垂直的弦OM，ON，设M的横坐标为m，用n表示△OMN的面积，并求△OMN面积的最小值；（Ⅱ）过抛物线上一点A（3，9）引圆x2+（y-2）2=1的两条-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线x2=y，O为坐标原点．（Ⅰ）过点O作两相互垂直的弦OM，ON，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知抛物线x²=y，O为坐标原点．
（Ⅰ）过点O作两相互垂直的弦OM，ON，设M的横坐标为m，用n表示△OMN的面积，并求△OMN面积的最小值；
（Ⅱ）过抛物线上一点A（3，9）引圆x²+（y-2）²=1的两条切线AB，AC，分别交抛物线于点B，C，连接BC，求直线BC的斜率．

试题来源：金华模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设M（x1，x12），N（x2，x22）．
由OM⊥ON得x1x2+x12x22=0，∴x₁x₂=-1．
因为x₁=m，所以x2=-

1

m

．
所以|OM|=

m2+m4

，|ON|=

m2+1

m4

．
所以n=S△OMN=

1

2

|OM||ON|=

1

2

×

m2+m4

×

m2+1

m4

=

1

2

2+m2+

1

m2

=1．
所以，当m=1时，△OMN面积取得最小值1．
（Ⅱ）设B（x3，x32），C（x4，x42），直线AB的方程为y-9=k₁（x-3），AC的方程为y-9=k₂（x-3），
因为直线AB，AC与圆x²+（y-2）²=1相切，
所以

|3k1-7|

1+k12

=

|3k2-7|

1+k22

=1．
所以4k12-21k1+24=0，4k22-21k2+24=0．
所以k₁，k₂ 是方程4k²-21k+24=0的两根．
所以k1+k2=

21

4

．
由方程组

y=x2

y-9=k1(x-3)

得x²-k₁x-9+3k₁=0．
所以x₃+3=k₁，同理可得：x₄+3=k₂．
所以直线BC的斜率为

x42-x32

x4-x3

=x₄+x₃=k₁+k₂-6=-

3

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线x2=y，O为坐标原点．（Ⅰ）过点O作两相互垂直的弦OM，ON，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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