已知抛物线y=-x2+2过其上一点P引抛物线的切线l，l与坐标轴在第一象限围成△AOB，求△AOB面积S的最小值，并求此时切线l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y=-x2+2过其上一点P引抛物线的切线l，l与坐标轴在第一..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知抛物线y=-x²+2过其上一点P引抛物线的切线l，l与坐标轴在第一象限围成△AOB，求△AOB面积S的最小值，并求此时切线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设切点P（x₀，-x₀²+2）（x₀＞0）
由y=-x²+2得y'=-2x，
∴k_l=-2x₀，
∴l的方程为：y-（-x₀²+2）=-2x₀（x-x₀）…（3分）
令y=0，得x=

x

20

+2

2x0

，令x=0，得y=x₀²+2，
三角形的面积为S=

1

2

?

x

20

+2

2x0

(

x

20

+2)，x₀＞0…（6分）
令S′=

(3

x

20

-2)(

x

20

+2)

4

x

20

=0?x0=

6

3

(x0＞0)…（8分）
当0＜x0＜

6

3

时，S′＜0；
当x0＞

6

3

时，S′＞0
∴x0=

6

3

时，
Smin=

1

2

?

(

6

3

)

2

+2

2?

6

3

((

6

3

)

2

+2)=

8

6

9

，…（10分）
此时kl=-

2

6

3

，
切点(

6

3

，

4

3

)，
故l的方程为2

6

x+3y-8=0．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y=-x2+2过其上一点P引抛物线的切线l，l与坐标轴在第一..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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