抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上（A点在第一象限，B点在第四象限），且|FA|=2，|FB|=5，（1）求点A、B的坐标；（2）求线段AB的长度和直线AB的方程；（3）在抛物线AOB这段曲线-数学试题及答案

1、试题题目：抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上（A点在第一象限，B点在第..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

抛物线y²=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上（A点在第一象限，B点在第四象限），且|FA|=2，|FB|=5，
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段AB的长度和直线AB的方程；
（3）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2得x₁+1=2，x₁=1，代入y²=4x中得y₁=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
（2）由A（1，2），B（4，-4）得|AB|=

(1-4)2+(2+4)2

=3

5

…（6分）
直线AB的方程为

y-2

-4-2

=

x-1

4-1

，化简得2x+y-4=0．…（8分）
（3）设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
则点P到直线AB的距离d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2×

y0 2

4

+y0-4|

5

=

|

1

2

(y0+1)2-

9

2

|

5

…（9分）
所以当y₀=-1时，d取最大值

9

5

10

，…（10分）
所以△PAB的面积最大值为S=

1

2

×3

5

×

9

5

10

=27 …（11分）
此时P点坐标为（

1

4

，-1）．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上（A点在第一象限，B点在第..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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