设椭圆C：x2a2+y2b2=1的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF=2FB．（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆C：x2a2+y2b2=1的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，

AF

=2

FB

．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=

15

4

，求椭圆C的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＜0．
直线l的方程为 y=

3

(x-c)，其中c=

a2-b2

．
联立

y=

3

(x-c)

x2

a2

+

y2

b2

=1

得(3a2+b2)y2+2

3

b2cy-3b4=0，
解得y1=

-

3

b2(c+2a)

3a2+b2

，y2=

-

3

b2(c-2a)

3a2+b2

，
因为

AF

=2

FB

，所以-y₁=2y₂．即

3

b2(c+2a)

3a2+b2

=2?

-

3

b2(c-2a)

3a2+b2

，
所以3c=2a，得离心率 e=

c

a

=

2

3

．
（2）由（1）知c=

2

3

a，
则|AB|=

1+

1

3

|y2-y1|=

2

3

(y1+y2)2-4y1y2

=

2

3

(

-2

3

b2c

3a2+b2

)2+

4×3b4

3a2+b2

2

3

?

4

3

ab2

3a2+b2

，
所以

2

3

?

4

3

ab2

3a2+b2

=

15

4

．
再由

c

a

=

2

3

得b=

5

3

a．
所以

5

4

a=

15

4

，得a=3，b=

5

．
椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆C：x2a2+y2b2=1的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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