过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x22+y2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（）A．83B．42C．22D．43-数学试题及答案

1、试题题目：过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x22+y2=1交于A、C与B、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：

x2

2

+y2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（　　）

A．

8

3

B．4

2

C．2

2

D．

4

3

试题来源：武汉模拟试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意可得四边形ABCD的对角线互相垂直，且四个顶点在椭圆

x2

2

+y2=1上，且a=

2

，b=1．
四边形ABCD面积等于

1

2

?AC?BD．
当AC和BD中，有一条直线的斜率不存在时，AC和BD的长度分别为2a和 2b，
四边形ABCD面积等于

1

2

?AC?BD=2ab=2

2

×1=2

2

．
当AC和BD的斜率都存在时，设AC的方程为y=kx，BD方程为y=-

1

k

x．
把y=kx代入椭圆的方程化简为（2k²+1）x²-2=0，∴x_A+x_C=0，xA? xC=-

2

2k2+1

．
∴AC=

1+k2

?|x_A-x_C|=

1+k2

?

0+

8

2k2+1

=2

2(1+k2)

2k2+1

．
同理求得 BD=2

2(1+k2)

k2+2

，
∴

1

2

?AC?BD=4

k4+2k2+1

2k4+5k2+2

=

4

2k4+5k2+2

k4+2k2+1

=

4

2k2+5+

2

k2

k2+2+

1

k2

=

4

2( k2+

2

k2

+2)+1

k2+

1

k2

+2

=

4

2+

1

k2+

1

k2

+2

≥

4

2+

1

2+2

=4×

2

3

=

8

3

，当且仅当k2=

1

k2

时，取等号．
综上可得，四边形ABCD面积的最小值等于

8

3

．
故选：A．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：x22+y2=1交于A、C与B、..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：