已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|+|BF|=22，|AB|最小值为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若圆：x2+y2=23的切线l与椭圆-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F，过原点和x轴不重..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|+|BF|=2

2

，|AB|最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若圆：x2+y2=

2

3

的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设A（x₀，y₀）B（-x₀，y₀）F（c，0）（c²=a²+b）
则|AF|+|BF|=2a=2

2

∴a=

2

-----------------------------------------（1分）|AB|=

(2x0)2+(2y0)2

=2

x02+(1-

x02

a2

)b2

=2

b2+

c2x02

a2

∵0≤x₀²≤a²∴|AB|_min=2b=2∴b=1所以有椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1-----------------（5分）
（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m
L与圆x2+y2=

2

3

相切，
∴

|m|

1+k2

=

6

3

∴m2=

2

3

(k2+1)-----------------（7分）
L的方程为y=kx+m代入

x2

2

+y2=1中得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=8（2k²+1-m²）＞0令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
x1+x2=

-4km

1+2k2

①
x1x2=

2m2-2

1+2k2

②
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

1+2k2

③--------------------（10分）

OP

?

OQ

=x1x2+y1y2=

2m2-2

1+2k2

+

m2-2k2

1+2k2

=

3m2-2k2-2

1+2k2

=0
∴

OP

⊥

OQ

------------------------------------------------------（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F，过原点和x轴不重..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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