P、Q是抛物线y=x2上顶点以外的两点，O为坐标原点．∠POQ=π4，直线l1、l2分别是过P、Q两点抛物线的切线．（Ⅰ）则l1、l2的交点M点的轨迹方程是_____

1、试题题目：P、Q是抛物线y=x2上顶点以外的两点，O为坐标原点．∠POQ=π4，直线l..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

P、Q是抛物线y=x²上顶点以外的两点，O为坐标原点．∠POQ=

π

4

，直线l₁、l₂分别是过P、Q两点抛物线的切线．（Ⅰ）则l₁、l₂的交点M点的轨迹方程是______；（Ⅱ）若l₁、l₂分别交x轴于A、B两点，则过△ABM的垂心与点(0，-

1

4

)的直线方程是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y）
∵∠POQ=

π

4

∴

2

=

OP

?

OQ

|

OP

||

OQ

|

=

x1x2

(

x

21

+

x

22

)(

y

21

+

y

22

)

①
∵直线l₁、l₂分别是过P、Q两点抛物线的切线，y=x²，y′=2x
∴直线l₁的方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）
直线l₂的方程为y-x₂²=2x₂（x-x₂）
∴l₁、l₂的交点

x=

x1+x2

2

y=x1?x2

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4x²-2y，y₁²+y₂²=x₁⁴+x₂⁴=（x₁²+x₂²）²-2x₁²x₂²=（4x²-2y）²-2y² ②
将②代入①得

2

=

y

(4x2-2y)((4x2-2y)2-2y2)

化简得4x²-y²-6y-1=0（y≠0）
故答案为4x²-y²-6y-1=0（y≠0）
（Ⅱ）由（I）得，A（

x1

2

，0），B（

x2

2

，0）
过点A，且与l₂垂直的直线方程为y=-

1

2x2

（x-

x1

2

） ③
过点M，且与AB垂直的直线方程为x=

x1+x2

2

④
将④代入③得△ABM的垂心纵坐标y=-

1

4

∴过△ABM的垂心与点(0，-

1

4

)的直线方程是y=-

1

4

故答案为y=-

1

4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“P、Q是抛物线y=x2上顶点以外的两点，O为坐标原点．∠POQ=π4，直线l..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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