已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．（Ⅰ）若|AB|=163，求直线l的方程．（Ⅱ）求|AB|的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．（Ⅰ）若|..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．
（Ⅰ）若|AB|=

16

3

，求直线l的方程．
（Ⅱ）求|AB|的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解法一：（1）设直线l的方程为：x+my-1=0，
代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁，y₂是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y₁+y₂=-4m
根据抛物线的定义知：
|AB|=x₁+x₂+2=(1-my1)+(1-my2)+2=4(m2+1)
若|AB|=

16

3

，则4(m2+1)=

16

3

，m=±

3

即直线l有两条，其方程分别为：x+

3

y-1=0，x-

3

y-1=0
（2）由（1）知，|AB|=4（m²+1）≥4，
当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．
解法二：（1）由抛物线的焦点弦长公式|AB|=

2P

sin2θ

（θ为AB的倾斜角），
知sinθ=±

3

2

，
即直线AB的斜率k=tanθ=±

3

，
故所求直线方程为：x+

3

y-1=0或x-

3

y-1=0．
（2）由（1）知|AB|=

2P

sin2θ

=

4

sin2θ

，
∴|AB|_min=4 （此时sinθ=1，θ=90°）
故|AB|有最小值4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．（Ⅰ）若|..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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