设O为坐标原点，A（-1p，0），点M在定直线x=-p（p＞0）上移动，点N在线段MO的延长线上，且满足|OM||MN|=1|NA|．（Ⅰ）求动点N的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若|AN|的最大值≤32-数学试题及答案

1、试题题目：设O为坐标原点，A（-1p，0），点M在定直线x=-p（p＞0）上移动，点N..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设O为坐标原点，A（-

1

p

，0），点M在定直线x=-p（p＞0）上移动，点N在线段MO的延长线上，且满足

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

．
（Ⅰ）求动点N的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若|AN|的最大值≤

3

2

，求p的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设N（x₀，y₀），（x₀＞0），则直线ON方程为y=

y0

x0

x，与直线x=-p交于点M（-p，-

py0

x0

），
代入

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

得，

(-p)2+(-

py0

x0

)2

(x0+p)2+(y0+

py0

x0

)2

=

1

(x0+

1

p

)2+ y02

或

1 +(

y0

x0

)2

|0-(-p)|

1 +(

y0

x0

)2

|x0-(-p)|

=

1

(x0+

1

p

)2+y02

化简得（p²-1）x₀²+p²y₀²=p²-1．
把x₀，y₀换成x，y得点N的轨迹方程为（p²-1）x²+p²y²=p²-1．（x＞0）
（1）当0＜p＜1时，方程化为x²-

y2

1-p2

p2

=1表示焦点在x轴上的双曲线的右支；
（2）当p=1时，方程化为y=0，表示一条射线（不含端点）；
（3）当p＞1时，方程化为x²+

y2

p2-1

p2

=1表示焦点在x轴上的椭圆的右半部分．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知|AN|=

(x0+

1

p

)2+ y02

=

(x0+

1

p

)2+1-

1

p2

-(1-

1

p2

) x02

=

1

p2

x02+

2

p

x0+ 1

=

1

p

x₀+1．

当0＜p＜1时，因x₀∈[1，+∞），故|AN|无最大值，不合题意．
当p=1，因x₀∈（0，+∞），故|AN|无最大值，不合题意．
当p＞1时，x₀∈（0，1]，故当x₀=1时，|AN|有最大值

1

p

+1，由题意得

1

p

+1≤

3

2

，
解得p≥2．所以p的取值范围为[2，+∞）．
命题意图：通过用设点，代换，化简，检验等步骤求曲线方程，考查解析几何中已知曲线求方程的能力，并结合含参数的方程表示的曲线类型的讨论考查学生的分类讨论思想的应用．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设O为坐标原点，A（-1p，0），点M在定直线x=-p（p＞0）上移动，点N..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：