设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．（1）设L的斜率为1，求|AB|的大小；（2）求证：OA?OB是一个定值．-数学试题及答案

1、试题题目：设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设抛物线C：y²=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．
（1）设L的斜率为1，求|AB|的大小；
（2）求证：

OA

?

OB

是一个定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵直线L的斜率为1且过点F（1，0），∴直线L的方程为y=x-1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=x-1

y2=4x

消去y得x²-6x+1=0，△＞0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴|AB|=x₁+x₂+p=8．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，联立

x=ky+1

y2=4x

消去x得y²-4ky-4=0．△＞0，
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，
设A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），则

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
∴

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+1）（ky₂+1）+y₁y₂
=k²y₁y₂+k（y₁+y₂）+1+y₁y₂=-4k²+4k²+1-4=-3．
∴

OA

?

OB

=-3是一个定值．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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