已知抛物线方程为y2=4x，过Q（2，0）作直线l．①若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？②若-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线方程为y2=4x，过Q（2，0）作直线l．①若l与x轴不垂直，交抛..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线方程为y²=4x，过Q（2，0）作直线l．
①若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？
②若L与X轴垂直，抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点，则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值，试证之．

试题来源：江西模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①设l的方程为：y=k（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-2)

y2=4x

消去

k

4

y2-y-2k=0得：

k

4

y2-y-2k=0，y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-8（2分）
若∠AEQ=∠BEQ，则k_AE+k_BC=0（3分）
即：

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0?y1(x2-m)+y2(x1-m)=0（4分）?y₁x₂+y₂x₁-m（y₁+y₂）=0?y1?

y22

4

+y2?

y12

4

-m(y1+y2)=0?-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0?m=-2（6分）
故存在m=-2，使得∠AEQ=∠BEQ（7分）
②设P（x₀，y₀）在抛物线上，由抛物线的对称性，不妨设y₀＞0，则过P点的切线斜率k=(2

x

)′|x=x0=

1

x0

，切线方程为：y-y0=

1

x0

(x-x0)，且y0=2

x0

（9分）
令x=0?y=y0-

x0

=

x0

，∴M(0，

x0

)
令x=2?y=y0+

2

x0

-

x0

=

x0

+

2

x0

，∴N(2，

x0

+

2

x0

)（10分）
则以QN为直径的圆的圆心坐标为O′(2，

x0

2

+

1

x0

)，半径r=

x0

2

+

1

x0

（11分）
∴|MT|2=|MO′|2-r2=22+(

x0

2

+

1

x0

-

x0

)2-(

x0

2

+

1

x0

)2=22+(

1

x0

-

x0

2

)2-(

1

x0

+

x0

2

)2=4-1-1=2
∴|MT|=

2

（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线方程为y2=4x，过Q（2，0）作直线l．①若l与x轴不垂直，交抛..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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