已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且k1?k2=-14．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．①若-数学试题及答案

1、试题题目：已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是 k₁，k₂且k1?k2=-

1

4

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．
①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足kBM?kBN=-

1

4

，证明直线l过定点，并求出这个定点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得

y

x+2

?

y

x-2

=-

1

4

，（x≠±2），即x²+4y²=4（x≠±2）．
∴动点P的轨迹C的方程是

x2

4

+y2=1(x≠±2)．
（2）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立

y=kx+m

x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴△=64k²m²-16（m²-1）（1+4k²）=16（1+4k²-m²）＞0．
∴x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
①若OM⊥ON，则x₁x₂+y₁y₂=0，∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴

(1+k2)(4m2-4)

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，化为m2=

4

5

(1+k2)，此时点O到直线l的距离d=

|m|

1+k2

=

2

5

．
②∵k_BM?k_BN=-

1

4

，∴

y1

x1-2

?

y1

x1+2

=-

1

4

，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+4y₁y₂=0，
∴x1x2-2(x1+x2)+4+4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，
代入化为4m2-4-

8km(4km-2)

1+4k2

+4m2+4=0，化简得m（m+2k）=0，解得m=0或m=-2k．
当m=0时，直线l恒过原点；
当m=-2k时，直线l恒过点（2，0），此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，
综上可知：直线l恒过定点（0，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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