已知动圆C经过点（0，m）（m＞0），且与直线y=-m相切，圆C被x轴截得弦长的最小值为1．记该圆圆心的轨迹为E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）是否存在曲线C与曲线E的一个公共点，使它们在该点-数学试题及答案

1、试题题目：已知动圆C经过点（0，m）（m＞0），且与直线y=-m相切，圆C被x轴截得弦..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知动圆C经过点（0，m）（m＞0），且与直线y=-m相切，圆C被x轴截得弦长的最小值为1．记该圆圆心的轨迹为E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲线C与曲线E的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

试题来源：唐山二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意，曲线E是以（0，m）为焦点，以y=-m为准线的抛物线，所以曲线E的方程为x²=4my．…（2分）
设动圆圆心为A（a，

a2

4m

），则圆C方程为（x-a）²+（y-

a2

4m

）²=（

a2

4m

+m）²，
令y=0，得（x-a）²=

a2

2

+m²．
当a=0时，圆C被x轴截得弦长取得最小值2m，于是m=

1

2

，故曲线E的方程为x²=2y．…（5分）
（Ⅱ）假设存在题设的公共点B（b，

1

2

b²）．
圆C方程为（x-a）²+（y-

1

2

a²）²=（

1

2

a²+

1

2

）²，
将点B坐标代入上式，并整理，得（b-a）²[1+

1

4

（a+b）²]=

1

4

（a²+1）²．①…（7分）
对y=

1

2

x²求导，得y′=x，则曲线E在点B处的切线斜率为b．
又直线AB的斜率k=

1

2

b2-

1

2

a2

b-a

=

1

2

（a+b）．
由圆切线的性质，有

1

2

（a+b）b=-1．②…（8分）
由①和②得b²（b²-8）=0．
显然b≠0，则b=±2

2

．…（9分）
所以存在题设的公共点B，其坐标为（±2

2

，4），公切线方程为y=2

2

（x-2

2

）+4或y=-2

2

（x+2

2

）+4，即y=±2

2

x-4．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知动圆C经过点（0，m）（m＞0），且与直线y=-m相切，圆C被x轴截得弦..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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