已知椭圆：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为22，两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2．（1）求椭圆的方程；（2）过点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，四边形F1ACB-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

，两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F₂的直线l与椭圆交于A，B两点，四边形F₁ACB为平行四边形，O为坐标原点，且|OC|=

53

3

，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为离心率为

2

，
所以a=

2

c．
又因为两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2，
所以bc=1．
因为a²=b²+c²，
所以a=

2

，b=1．
所以椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1
（2）当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为：x=1，
所以A（1，

2

），B（1，-

2

）．
因为四边形F₁ACB为平行四边形，
所以C（3，0），所以|OC|=3≠

53

3

，
所以直线l的斜率不存在不符合题意，即直线l的斜率存在；
设直线l的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
由题意可得：△＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

1+2k2

，
因为四边形F₁ACB为平行四边形，
所以C（x₁+x₂+1，y₁+y₂）．
因为|OC|=

53

3

所以(x1+x2+1)2+(y1+y2)2=

53

9

，
所以结合韦达定理可求出k²=1，即k=±1，
所以所求直线的方程为：y=±（x-1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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