设双曲线的顶点是椭圆x23+y24=1的焦点，该双曲线又与直线15x-3y+6=0交于两点A、B且OA⊥OB（O为原点）．（1）求此双曲线的标准方程；（2）求|AB|的长度．-数学试题及答案

1、试题题目：设双曲线的顶点是椭圆x23+y24=1的焦点，该双曲线又与直线15x-3y+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设双曲线的顶点是椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的焦点，该双曲线又与直线

15

x-3y+6=0交于两点A、B且OA⊥OB（O为原点）．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）求|AB|的长度．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的焦点为（0，±1），依题意设双曲线的方程为y2-

x2

b2

=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

15

x1=3y1-6，

15

x2=3y2-6，∴15x₁x₂=9y₁y₂-18（y₁+y₂）+36，
∴x1x2=

3y1y2-6(y1+y2)+12

5

由 OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴4y₁y₂-3（y₁+y₂）+6=0…①
由

y2-

x2

b2

=1

15

x-3y+6=0

，∴（15b²-9）y²+36y-（15b²+36）=0…②
∴y1+y2=

36

9-15b2

，y1y2=

15b2+36

9-15b2

，代入①中得b²=3∴双曲线的方程为y2-

x2

3

=1
（2）将b²=3代入②式中，得4y²+4y-9=0，y1+y2=-1，y1y2=-

9

4

∴|AB|=

1+

1

k2

|y2-y1|=

1+

3

5

?

1-4×(-

9

4

)=4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设双曲线的顶点是椭圆x23+y24=1的焦点，该双曲线又与直线15x-3y+..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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