已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP?PM=0，PM=-32MQ．（I）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动点M的轨迹为C，如果过定点A（x-数学试题及答案

1、试题题目：已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

HP

?

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（I）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动点M的轨迹为C，如果过定点A（x₀，y₀）的直线与曲线C相交不同的两点S、R，求证：曲线C在S、R两点处的切线的交点在一条定直线上．

试题来源：临沂二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设P（a，0），Q（0，b）（b＞0），
∵点M在直线PQ上，

HP

?

PM

=0，
∴

HP

?

PQ

=(a，3)?(-a，b)=-a2+3b=0，
∴a²=3b，

设M(x，y)，由

PM

=-

3

2

MQ

得，

(x-a，y)-=

3

2

(-x，-y+b)

∴

x-a=

3

2

x

y=

3

2

(y-b)

∴

a=

1

2

x

b=

1

3

y(b＞0)

∴y=

1

4

x2(x≠0)
点M的轨迹方程为y=

1

4

x2(x≠0)．
（II）解法一：设S(x1，

1

4

x

21

)，R(x2，

1

4

x

22

)(x1≠x2)，
则直线SR的方程为：y-

1

4

x

21

=

1

4

x

22

-

1

4

x

21

x2-x1

(x-x1)
即y=

1

4

(x1+x2)x-

x1x2

4

．
∵A点在SR上，
∴y0=

1

4

(x1+x2)x0-

x1x2

4

①
对y=

1

4

x2求导得：y′=

1

2

x．
∴抛物线上S、R处的切线方程为：y-

1

4

x

21

=

1

2

x1(x-x1)即y=

x1x

2

-

x

21

4

②
y-

1

4

x

22

=

1

2

x2(x-x2)即y=

x2x

2

-

x

22

4

③
联立②③，并解之得

x=

x1+x2

2

y=

1

4

x1x2

代入①得
y0=

x0x

2

-y，即x0x-2y-2y0=0，
故切线的交点在定直线x₀x-2y=2y₀=0上．
解法二：当过点A的直线斜率不存在时与题意不符．设直线SR的方程为y-y₀=k（x-x₀）
代入抛物线方程得x²-4kx+4x₀k-4y₀=0．
设S1(x1，

1

4

x

21

)，R(x2，

1

4

x

22

)(x1≠x2)
由韦达定理

x1+x2=4k

x1x2=4(x0k-y0)

（*）
又过S，R点的切线方程分别是：y=

x1

2

x-

x

21

4

，y=

x2

2

x-

x

22

4

∴两切线的交点为

x=

x1+x2

2

y=

1

4

x1x2

，
代入（*）得

x=2k

y=x0k-y0

(k为参数)，
消去k，得x₀x-2y-2y₀=0
故切线的交点在定直线x₀x-2y-2y₀=0上．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：