设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆x2b2+y2a2=1，（a＞b＞0）上的两点，已知向量m=（x1b，y1a），n=（x2b，y2a），且m?n=0，若椭圆的离心率e=32，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程-数学试题及答案

1、试题题目：设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆x2b2+y2a2=1，（a＞b＞..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆

x2

b2

+

y2

a2

=1，（a＞b＞0）上的两点，已知向量

m

=（

x1

b

，

y1

a

），

n

=（

x2

b

，

y2

a

），且

m

?

n

=0，若椭圆的离心率e=

3

2

，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

试题来源：眉山二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）2b=2．b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

?a=2，c=

3

椭圆的方程为

y2

4

+x2=1
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+

3

y=kx+

3

y2

4

+x2=1

?(k2+4)x2+2

3

kx-1=0
x1+x2=

-2

3

k

k2+4

，x1x2=

-1

k2+4

由已知

m

?

n

=0得：

x1x2

b2

+

y1y2

a2

=x1x2+

1

4

(kx1+

3

)(kx2+

3

)
=(1+

k2

4

)x1x2+

3

k

4

(x1+x2)+

3

4

k2+4

4

(-

1

k2+4

)+

3

k

4

?

-2

3

k

k2+4

+

3

4

=0，解得k=±

2

（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
由

m

?

n

=0，则x12-

y12

4

=0?y12=4x12
又A（x₁，y₁）在椭圆上，所以x12+

4x12

4

=1?|x1|=

2

，|y1|=

2

S=

1

2

|x1||y1-y2|=

1

2

|x1|2|y1|=1
所以三角形的面积为定值
（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b

y=kx+b

y2

4

+x2=1

?(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0
得到x₁+x₂=

-2kb

k2+4

x1x2=

b2-4

k2+4

x1x2+

y1y2

4

=0?x1x2+

(kx1+b)(kx2+b)

4

=0代入整理得：
2b²-k²=4
S=

1

2

|b|

1+k2

|AB|=

1

2

|b|

(x1+x2)2-4x1x2

=

|b|

4k2-4b2+16

k2+4

=

4b2

2|b|

=1
所以三角形的面积为定值

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆x2b2+y2a2=1，（a＞b＞..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：