设双曲线xy=1的两支为C1，C2（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；（2）设P（-1，-1）在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．-数学试题及答案

1、试题题目：设双曲线xy=1的两支为C1，C2（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设双曲线xy=1的两支为C₁，C₂（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
（2）设P（-1，-1）在C₂上，Q、R在C₁上，求顶点Q、R的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上，
此三点坐标为P（x1，

1

x1

），O（x2，

1

x2

），R（x3，

1

x3

），
则

1

x1

＞

1

x2

＞

1

x3

＞0，
k_PO=

1

x2

-

1

x1

x2-x1

=-

1

x1x2

，k_PR=

1

x3

-

1

x1

x3-x1

=-

1

x2x3

，
tan∠POR=

-

1

x1x2

+

1

x2x3

1+

1

x1x3x22

＜0，
从而∠POR为钝角，即△POR不可能是正三角形．
所以P、Q、R不能都在双曲线的同一支上．
（2）P（-1，-1），设O（x2，

1

x2

），点P在直线y=x上，
以P为圆心，|PO|为半径作圆，
魔方格

此圆与双曲线第一象限内的另一交点R满足|PO|=|PR|，
由圆与双曲线都与y=x对称，
知O与R关于y=x对称，
且在第一象限内此两条曲线没有其他交点（二曲线的交点个数），
于是R（

1

x2

，x₂），
∴PO与y=x的夹角等于30°，PO所在直线的倾斜角等于75°，
tan75°=

1+

3

1-

3

=2+

3

．
PO所在的直线方程为y+1=（2+

3

）（x+1），
代入xy=1，
解得O（2-

3

，2+

3

），于是R（2+

3

，2-

3

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设双曲线xy=1的两支为C1，C2（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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