如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，2），且离心率等于32，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，

2

），且离心率等于

3

2

，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设

|

PM

|

PN

|

=

|

MQ

|

NQ

|

=λ，试求λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)（1分）
因为它的一个顶点为A（0，

2

），所以b²=2，
由离心率等于

3

2

，得

a2-b2

a2

=

3

2

，
解得a²=8，所以椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

2

=1（4分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），若直线l与y轴重合，
则

|

PM

|

PN

|

=

|

MQ

|

NQ

|

=

2-

2

-y0

=

2+

2

+y0

，得y₀=1，得λ=

2

（1分）
若直线l与y轴不重合，则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得x1+x2=-

16k

1+4k2

①，x1x2=

8

1+4k2

②，（2分）
由

|

PM

|

PN

|

=

|

MQ

|

NQ

|

得

0-x1

x1-x0

=

0-x2

x0-x2

，整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），
将①②代入得x0=-

1

k

，又点N（x₀，y₀）在直线l上，
所以y0=k×(-

1

k

)+2=1，（2分）
于是有1＜y1＜

2

，因此λ=

2-y1

y1-1

=

1-y1+1

y1-1

=

1

y1-1

-1，
由1＜y1＜

2

得

1

y1-1

＞

2

+1，
所以λ＞

2

，综上所述，有λ≥

2

（2分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：