已知点F(12，0)，动圆P经过点F，与直线x=-12相切，设动圆的圆心P的轨迹为曲线W，且直线x-y=m与曲线W相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点．（1）求曲线W的方程；（2）当m-数学试题及答案

1、试题题目：已知点F(12，0)，动圆P经过点F，与直线x=-12相切，设动圆的圆心P..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知点F(

1

2

，0)，动圆P经过点F，与直线x=-

1

2

相切，设动圆的圆心P的轨迹为曲线W，且直线x-y=m与曲线W相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，O为坐标原点．
（1）求曲线W的方程；
（2）当m=2时，证明：OA⊥OB；
（3）当y₁y₂=-2m时，是否存在m∈R，使得

OA

?

OB

=-1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）过动圆圆心P作PN⊥直线x=-

1

2

，垂足为N，则有|PF|=|PN|，
∴动圆圆心P的轨迹是以F为焦点，以x=-

1

2

为准线的抛物线，
故曲线W的方程为y²=2x．
（2）证明：当m=2时，由

x-y=2

y2=2x

得x²-6x+4=0，
解得x1=3+

5

，x2=3-

5

，
因此y1=1+

5

，y2=1-

5

．
于是x1x2+y1y2=(3+

5

)(3-

5

)+(1+

5

)(1-

5

)=0，
即

OA

?

OB

=0．
所以OA⊥OB
（3）假设存在实数m满足题意，由于A，B两点在抛物线上，故

y12=2x1

y22=2x2

因此x1x2=

1

4

(y1y2)2=m2．
所以

OA

?

OB

=x1x2+y1y2=m2-2m．
由

OA

?

OB

=-1，即m²-2m=-1，得m=1．
又当m=1时，经验证直线与抛物线有两个交点，
所以存在实数m=1，使得

OA

?

OB

=-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点F(12，0)，动圆P经过点F，与直线x=-12相切，设动圆的圆心P..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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