如图，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线为l1，l2，离心率为133，P1∈l1，P2∈l2，且OP1?OP2=t，P2P=λPP1（λ＞0），P在双曲线C右支上．（1）若△P1OP2的面积为6，求t的值；（2）t=-数学试题及答案

1、试题题目：如图，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线为l1，l2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

如图，双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线为l₁，l₂，离心率为

13

3

，P₁∈l₁，P₂∈l₂，且

OP1

?

OP2

=t，

P2P

=λ

PP1

（λ＞0），P在双曲线C右支上．
（1）若△P₁OP₂的面积为6，求t的值；
（2）t=5时，求a最大时双曲线C的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，e=

c

a

=

13

3

，
∴e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=

13

9

，a＞0，b＞0，
∴b=

2

3

a，设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线l₁：y=

b

a

x的倾斜角为θ，
则tanθ=

2

3

，tan∠P₁OP₂=tan2θ=

12

5

，
∴cos2θ=

5

13

，sin2θ=

12

13

；
∵

OP1

?

OP2

=|

OP1

|?|

OP2

|?cos∠P₁OP₂=|

OP1

|?|

OP2

|×

5

13

=t，
S△P1OP2=

1

2

|

OP1

|?|

OP2

|?sin∠P₁OP₂=

1

2

|

OP1

|?|

OP2

|×

12

13

=6
∴|

OP1

|?|

OP2

|=13．
∴t=|

OP1

|?|

OP2

|×

5

13

=13×

5

13

=5．
（2）∵t=|

OP1

|?|

OP2

|×

5

13

=5，
∴|

OP1

|?|

OP2

|=13．
∴由余弦定理得：|P1P2|2=|OP1|2+|OP2|2-2|

OP1

|?|

OP2

|cos∠P₁OP₂
≥2|

OP1

|?|

OP2

|（1-cos∠P₁OP₂）
=2×13×

8

13

=16（当且仅当|

OP1

|=|

OP2

|时取“=”）．
∴|P₁P₂|≥4（当且仅当|

OP1

|=|

OP2

|时取“=”）．
∵

P2P

=λ

PP1

（λ＞0），
∴P₂、P、P₁三点共线，又P在双曲线C右支上，
∵S△P1OP2=

1

2

|

OP1

|?|

OP2

|?sin∠P₁OP₂=

1

2

|

OP1

|?|

OP2

|×

12

13

=6，
又S△P1OP2=

1

2

|P₁P₂|?h（h为原点O到直线P₁P₂的距离），
∴当|

OP1

|=|

OP2

|=

13

时，|P₁P₂|取得最小值4，h取到最大值，此时h=a，即双曲线C的方程中的a取到最大值．
∴

1

2

×4a=6，
∴a=3，b=2．
∴双曲线的方程为：

x2

9

-

y2

4

=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线为l1，l2..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：