在直角坐标系xOy中，椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=53．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）平面上-数学试题及答案

1、试题题目：在直角坐标系xOy中，椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=

5

3

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足

MN

=

MF1

+

MF2

，直线l∥MN，且与C₁交于A，B两点，若

OA

?

OB

=0，求直线l的方程．

试题来源：海南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由C₂：y²=4x知F₂（1，0）．
设M（x₁，y₁），M在C₂上，因为|MF2|=

5

3

，
所以x1+1=

5

3

，得x1=

2

3

，y1=

2

6

3

．M在C₁上，且椭圆C₁的半焦距c=1，
于是

4

9a2

+

8

3b2

=1

b2=a2-1.

消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0，解得a=2（a=

1

3

不合题意，舍去）．
故椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

MF1

+

MF2

=

MN

知四边形MF₁NF₂是平行四边形，其中心为坐标原点O，
因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，
故l的斜率k=

2

6

3

2

3

=

6

．设l的方程为y=

6

(x-m)．
由

3x2+4y2=12

y=

6

(x-m)

消去y并化简得9x²-16mx+8m²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

16m

9

，x1x2=

8m2-4

9

．
因为

OA

⊥

OB

，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+6（x₁-m）（x₂-m）
=7x₁x₂-6m（x₁+x₂）+6m²
=7?

8m2-4

9

-6m?

16m

9

+6m2=

1

9

(14m2-28)=0．
所以m=±

2

．此时△=（16m）²-4×9（8m²-4）＞0，
故所求直线l的方程为y=

6

x-2

3

，或y=

6

x+2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在直角坐标系xOy中，椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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