如图，已知抛物线P：y2=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，OA+OB=OC，OC与AB交于点M．（1）求点M的轨迹方程；（2）求四边形AOBC的面积的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知抛物线P：y2=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

如图，已知抛物线P：y²=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，

OA

+

OB

=

OC

，OC与AB交于点M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求四边形AOBC的面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解法一：
（1）设M(x，y)，A(

y

21

，y1)，B(

y

22

，y2)，
∵

OA

+

OB

=

OC

，OC与AB交于点M．
∴M是线段AB的中点．
∴x=

y

21

+

y

22

2

=

(y1+y2)2-2y1y2

2

，①y=

y1+y2

2

．②
∵OA⊥OB，∴

OA

?

OB

=0．
∴

y

21

y

22

+y1y2=0．
依题意知y₁y₂≠0，
∴y₁y₂=-1．③
把②、③代入①得：x=

4y2+2

2

，即y2=

1

2

(x-1)．
∴点M的轨迹方程为y2=

1

2

(x-1)．
（2）依题意得四边形AOBC是矩形，
∴四边形AOBC的面积为S=|

OA

||

OB

|=

(

y

21

)2+

y

21

?

(

y

22

)2+

y

22

=

(

y

21

+1)(

y

22

+1)(y1y2)2

=

y

21

y

22

+

y

21

+

y

22

+1

=

2+

y

21

+

y

22

．
∵

y

21

+

y

22

≥2|y1y2|=2，当且仅当|y₁|=|y₂|时，等号成立，
∴S≥

2+2

=2．
∴四边形AOBC的面积的最小值为2．
解法二：
（1）依题意，知直线OA，OB的斜率存在，设直线OA的斜率为k，
由于OA⊥OB，则直线OB的斜率为-

1

k

．
故直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为y=-

1

k

x．
由

y=kx

y2=x

消去y，得k²x²-x=0．
解得x=0或x=

1

k2

．
∴点A的坐标为(

1

k2

，

1

k

)．
同理得点B的坐标为（k²，-k）．
∵

OA

+

OB

=

OC

，
∴M是线段AB的中点．
设点M的坐标为（x，y），则

x=

1

k2

+k2

2

y=

1

k

-k

2

，消去k，得y2=

1

2

(x-1)．
∴点M的轨迹方程为y2=

1

2

(x-1)．
（2）依题意得四边形AOBC是矩形，
∴四边形AOBC的面积为S=|

OA

||

OB

|=

(

1

k2

)2+(

1

k

)2

?

(k2)2+(-k)2

=

2+k2+

1

k2

≥

2+2

k2?

1

k2

=2．
当且仅当k2=

1

k2

，即k²=1时，等号成立．
∴四边形AOBC的面积的最小值为2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知抛物线P：y2=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：