已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，且椭圆E上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l₁，l₂是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l₁交E于A，B两点，l₂交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求l₁的斜率k的取值范围；
（Ⅲ）求

OM

?

ON

的取值范围．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由

c

a

=

1

2

2a=4

a2=b2+c2

得

a=2

b=

3

∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为零
∵l1：y=kx+2，∴l2：y=-

1

k

x+2．
由

x2

4

+

y2

3

=1

y=kx+2

消去y并化简整理，
得（3+4k²）x²+16kx+4=0
根据题意，△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k2＞

1

4

．
同理得(-

1

k

)2＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜4，k∈(-2，-

1

2

)∪(

1

2

，2)；
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
那么x1+x2=-

16k

3+4k2

，∴x0=

x1+x2

2

=-

8k

3+4k2

y0=kx0+2=

6

3+4k2

，∴M(-

8k

3+4k2

，

6

3+4k2

)
同理得N(-

8(-

1

k

)

3+4(-

1

k

)2

，

6

3+4(-

1

k

)2

)，即N(

8

k

3+

4

k2

，

6

3+

4

k2

)
∴

OM

?

ON

=-

8k

3+4k2

?

8

k

3+

4

k2

+

6

3+4k2

?

6

3

4

k2

=-

28

25+12(k2+

1

k2

)

∵

1

4

＜k2＜4，∴2≤k2+

1

k2

＜

17

4

∴-

4

7

≤-

28

25+12(k2+

1

k2

)

＜-

7

19

即

OM

?

ON

的取值范围是[-

4

7

，-

7

19

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，且椭圆E上..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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