设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=12，右焦点到直线xa+yb=1的距离d=217，O为坐标原点．（I）求椭圆C的方程；（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=12，右焦点到直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

1

2

，右焦点到直线

x

a

+

y

b

=1的距离d=

21

7

，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

试题来源：新余二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由e=

1

2

得

c

a

=

1

2

即a=2c，∴b=

3

c．
由右焦点到直线

x

a

+

y

b

=1的距离为d=

21

7

，
得：

|bc-ab|

a2+b2

=

21

7

，
解得a=2，b=

3

．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1联立消去y得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）-12=0，x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0．
即（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，∴(k2+1)

4m2-12

3+4k2

-

8k2m2

3+4k2

+m=0，
整理得7m²=12（k²+1）
所以O到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

=

12

7

=

2

21

7

．为定值
∵OA⊥OB，∴OA²+OB²=AB²≥2OA?OB，
当且仅当OA=OB时取“=”号．
由d?AB=OA?OB得d?AB=OA?OB≤

AB2

2

，
∴AB≥2d=

4

21

7

，
即弦AB的长度的最小值是

4

21

7

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=12，右焦点到直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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