已知直线l：y=2x-3与椭圆C：x2a2+y2=1（a＞1）交于P、Q两点，（1）设PQ中点M（x0，y0），求证：x0＜32；（2）以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．求椭圆C的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：y=2x-3与椭圆C：x2a2+y2=1（a＞1）交于P、Q两点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知直线l：y=2x-

3

与椭圆C：

x2

a2

+y²=1 （a＞1）交于P、Q两点，
（1）设PQ中点M（x₀，y₀），求证：x₀＜

3

2

；
（2）以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．求椭圆C的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：把y=2x-

3

代入

x2

a2

+y²=1 （a＞1），
得：

x2

a2

+（2x-

3

）²=1（a＞1），
整理，得(4a2+1)x2-4

3

a2 x+2a2=0，
∴x0=

xp+xq

2

=

2

3

a2

4a2+1

，
∵4a²+1＞4a²，
∴x0＜

3

2

．
（2）由题设知

PA

?

PB

=0，
∴（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，
∵yp=2xp-

3

，yq=2xq-

3

，
∴(xp-a)(xq-a)+(2xp-

3

)(2xq-

3

)=0，
由(4a2+1)x2-4

3

a2 x+2a2=0，
知xp+xq=

4

3

a2

4a2+1

，xpxq=

2a2

4a2+1

，
∴4a4-4

3

a3-a2+3=0，
即(a-

3

) (4a3-a-

3

) =0，
∵a＞1，
∴4a3-a-

3

＞0，故a=

3

．
∴椭圆C的方程

x2

3

+y2=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：y=2x-3与椭圆C：x2a2+y2=1（a＞1）交于P、Q两点..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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