设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．（I）若∠AF1F2=α，∠AF2F1=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；（II）设AF1=λ1F1B，AF2=λ2F2C，当A在-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
（II）设

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得

|AF1|

sinβ

=

|AF1|

sinα

=

|F1F2|

sin(α+β)

，
即|AF₁|=

sinβ|F1F2|

sin(α+β)

，|AF₂|=

sinα|F1F2|

sin(α+β)

，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=

sinβ|F1F2|

sin(α+β)

+

sinα|F1F2|

sin(α+β)

，
=2c（

sinβ

sin(α+β)

+

sinα

sin(α+β)

）=2c?

sinα+sinβ

sin(α+β)

，
得e=

sin(α+β)

sinα+sinβ

．
（II）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①当y₀=0时，λ₁+λ₂=2

a2 +c2

a2-c2

=

2(1+e2)

1-e2

；当AB或AC与x轴垂直时，λ₁+λ₂=

2(1+e2)

1-e2

．
②当AB，AC都不与x轴垂直且y₀≠0时，AC的方程为y=

y0

x0-c

（x-c），
由

y=

y0

x0-c

(x-c)

x2

a2

+

y2

b2

=1

，
消x得[b²（x₀-c）²+a²y₀²]y²+2b²y₀（x₀-c）y+c²b²y₀²-a²b²y₀²=0．
由韦达定理得 y₂y₀=

c2b2y02-a2b2y02

b2(x0-c)2+a2y02

，
所以y₂=

c2b2y0-a2 b2y0

b2(x0-c)2+a2y02

，
所以 λ₂=

|AF2|

|F2C|

=-

y0

y2

=-

b2(x0-c)2+a2y02

c2b2-a2b2

，
同理可得λ₁=

|AF1|

|F1C|

=-

y0

y1

=-(

b2(x0-c)2+a2y02

c2b2-a2b2

+

b2(x0+c)2+a2y02

c2b2-a2b2

]，
故λ₁+λ₂=

2(1+e2)

1-e2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦A..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：