如图，A为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．当AC垂直于x轴时，恰好|AF1|：|AF2|=3：1．（1）求该椭圆的离心率；（2）设AF1=λ1F1B，AF2=λ2F2C，试判断-数学试题及答案

1、试题题目：如图，A为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

如图，A为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．当AC垂直于x轴时，恰好|AF₁|：|AF₂|=3：1．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设

AF1

=λ1

F1B

，

AF2

=λ2

F2C

，试判断λ₁+λ₂是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当AC垂直于x轴时，|AF₁|：|AF₂|=3：1，由|AF₁|+|AF₂|=2a，
得|AF1|=

3a

2

，|AF2|=

a

2

在Rt△AF₁F₂中，|AF₁|²=|AF₂|²+（2c）²
解得 e=

2

．…（5分）
（2）由e=

2

，则

b

a

=

a2-c2

a

=

1-e2

=

2

，b=c．
焦点坐标为F₁（-b，0），F₂（b，0），则椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
化简有x²+2y²=2b²．
设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
①若直线AC⊥x轴，x₀=b，λ₂=1，λ1=

3b+2b

b

=5
∴λ1+λ2=6． …（8分）
②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为y=

y0

x0-b

(x-b)
代入椭圆方程有（3b²-2bx₀）y²+2by₀（x₀-b）y-b²y₀²=0．
由韦达定理得：y0y2=-

b2y02

3b2-2bx0

，∴y2=-

b2y0

3b2-2bx0

…（10分）
所以λ2=

|AF2|

|F2C|

=

y0

-y2

=

3b-2x0

b

，
同理可得λ1=

-3b-2x0

-b

=

3b+2x0

b

…（12分）
故λ1+λ2=

6b

b

=6．综上所述：λ1+λ2是定值6．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，A为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：