设曲线C1：x2a2+y2=1（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．（1）求实数m的取值范围（用a表示）；（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜12时，试求△OAP的面-数学试题及答案

1、试题题目：设曲线C1：x2a2+y2=1（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设曲线C₁：

x2

a2

+y2=1（a为正常数）与C₂：y²=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．
（1）求实数m的取值范围（用a表示）；
（2）O为原点，若C₁与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜

1

2

时，试求△OAP的面积的最大值（用a表示）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

x2

a2

+y2=1

y2=2(x+m)

消去y得，x²+2a²x+2a²m-a²=0． ①
设f（x）=x²+2a²x+2a²m-a²，问题（1）转化为方程①在x∈（-a，a）上有唯一解或等根．
只须讨论以下三种情况：
1°△=0得m=

a2+1

2

，此时x_p=-a²，当且仅当-a＜-a²＜a，即0＜a＜1时适合；
2°f（a）?f（-a）＜0当且仅当-a＜m＜a；
3°f（-a）=0得m=a，此时 x_p=a-2a²，当且仅当-a＜a-2a²＜a，即0＜a＜1时适合．
f（a）=0得m=-a，此时 x_p=-a-2a²，由于-a-2a²＜-a，从而m≠-a．
综上可知，当0＜a＜1时，m=

a2+1

2

或-a＜m≤a；当a≥1时，-a＜m＜a．
（2）△OAP的面积S=

1

2

ay_p．
∵0＜a＜

1

2

，∴-a＜m≤a时，0＜-a2+a

a2+1-2m

＜a，由唯一性得x_p=-a2+a

a2+1-2m

．
显然当m=a时，x_p取值最小．
由于x_p＞0，从而yp=

1-

x

2p

a2

取值最大，此时y_p=2

a-a2

，∴S=a

a-a2

．
当m=

a2+1

2

时，x_p=-a²，y_p=

1-a2

，此时S=

1

2

a

1-a2

．
下面比较a

a-a2

与

1

2

a

1-a2

的大小：
令a

a-a2

=

1

2

a

1-a2

，得a=

1

3

．
故当0＜a≤

1

3

时，a

a(1-a)

≤

1

2

a

1-a2

，此时S_max=

1

2

a

1-a2

．
当

1

3

＜a＜

1

2

时，a

a(1-a)

＞

1

2

a

1-a2

，此时S_max=a

a-a2

．…（20分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设曲线C1：x2a2+y2=1（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：