设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）的直线交椭圆M于P、Q两点，且满足OP⊥OQ，求直线PQ的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点，且它们的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x²-2y²=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的直线交椭圆M于P、Q两点，且满足OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆M的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
则有

a2-b2=1

1

a

=

2

解得

a=

2

b=1

，
∴椭圆M的方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）当k不存在时，直线为x=2与椭圆无交点
当k存在时，设PQ：y=k（x-2）
代入

x2

2

+y2=1整理得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

∴y1y2=

2k2

1+2k2

∵OP⊥OQ，
∴y₁y₂+x₁x₂=0即

10k2-2

1+2k2

=0
解得：k=±

5

所求直线PQ的方程为y=±

5

(x-2)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点，且它们的..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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